분포전송선로(분포정수 전송선로) 개념과 전송선로 방정식

작성 기준일: 2026-10-11

분포전송선로(Distributed Transmission Line)는 저항, 인덕턴스, 컨덕턴스, 커패시턴스가 선로 전체에 걸쳐 분포한다고 보고 해석하는 전송선로 모델입니다. 고주파 신호가 전달되는 선로에서는 위치에 따라 전압과 전류가 달라지기 때문에, 이 모델로 전송선로 방정식을 세워 선로의 특성을 구합니다. 이 글에서는 분포전송선로의 개념과 등가회로, 전송선로 방정식을 정리합니다.

분포전송선로 (Distributed Transmission Line)

개요

개발 배경: 저주파 회로에서는 전선의 길이를 무시하고 전압과 전류를 한 지점의 값으로 다루는 집중정수 회로로 해석합니다. 신호 주파수가 높아져 파장이 짧아지면 선로 길이가 파장과 비교할 수 없을 만큼 무시할 수 없게 되고, 같은 선로에서도 위치에 따라 전압과 전류 값이 달라집니다. 일반적으로 선로 길이가 파장의 약 1/10 이상이면 이 효과를 고려해야 합니다.

발전: 전송선로를 아주 짧은 구간으로 나누어 각 구간을 R, L, G, C로 표현하는 분포정수 모델이 정립되었고, 이 모델에서 전송선로 방정식이 도출되었습니다. 현재는 동축케이블, 마이크로스트립라인, 고속 디지털 PCB 배선의 해석과 설계에 사용합니다.

개념

• 분포정수 회로 (Distributed Parameter Circuit): 저항, 인덕턴스, 컨덕턴스, 커패시턴스가 선로 전체에 걸쳐 분포한다고 보는 회로 모델.
• 전송선로 방정식 (Telegrapher's Equation): 분포정수 회로 구조를 기반으로 전압과 전류의 파동방정식을 도출할 수 있는 시간·주파수 영역의 회로 미분방정식.

분포정수 회로의 선로 정수는 모두 단위 길이당 값으로 표시함

선로 정수	의미	발생 원인
R (Ω/m)	단위 길이당 직렬 저항	도체의 저항 (고주파에서는 표피 효과로 증가)
L (H/m)	단위 길이당 직렬 인덕턴스	도체 주위에 생기는 자기장
G (S/m)	단위 길이당 병렬 컨덕턴스	도체 사이 유전체의 누설 손실
C (F/m)	단위 길이당 병렬 커패시턴스	도체 사이에 생기는 전기장

개념도

선로를 길이 Δz의 아주 짧은 구간으로 나누면, 이 구간은 직렬로 RΔz와 LΔz, 병렬로 GΔz와 CΔz를 가진 회로로 표현됨. Δz를 0에 가깝게 줄이면 전송선로 방정식이 됨

주요 기술

전송선로 방정식과 이로부터 구하는 값은 다음과 같음

구분	수식
방정식	dV(z)/dz + (R + jωL)·I(z) = 0 dI(z)/dz + (G + jωC)·V(z) = 0
파동방정식	d²V(z)/dz² − γ²·V(z) = 0 d²I(z)/dz² − γ²·I(z) = 0
전파정수(γ)	γ = √[(R + jωL)(G + jωC)] = α + jβ
특성 임피던스(Z₀)	Z₀ = √[(R + jωL)/(G + jωC)] 무손실 선로(R = G = 0): Z₀ = √(L/C)

• 전송선로 방정식: 미소 구간의 전압 강하와 전류 감소를 나타내는 1계 미분방정식.
• 전송선로 파동방정식: 위 두 식을 정리한 2계 미분방정식으로, 전압·전류가 선로를 따라 파동으로 진행함을 나타냄.
• 전파정수(γ): α는 감쇠상수(단위 길이당 신호 크기 감소), β는 위상상수(단위 길이당 위상 변화)이며, 선로의 손실 조건에 따라 다음과 같이 나타냄.
  • 무손실(R = G = 0): α = 0, β = ω√(LC)
  • 저손실(R이 작고 G ≈ 0): α ≈ (R/2)√(C/L), β ≈ ω√(LC)
  • G도 있는 경우: α ≈ (R/2)√(C/L) + (G/2)√(L/C)
• 특성 임피던스(Z₀): 선로를 따라 진행하는 전압과 전류의 비율로, 선로 구조에 따라 정해지는 값.

유도 과정

• ① 미소 구간에 전압 법칙(KVL)을 적용하면 V(z) − V(z+Δz) = (R + jωL)Δz·I(z)이고, Δz를 0으로 보내면 dV(z)/dz = −(R + jωL)·I(z)임
• ② 전류 법칙(KCL)을 적용하면 I(z) − I(z+Δz) = (G + jωC)Δz·V(z+Δz)이고, 같은 방식으로 dI(z)/dz = −(G + jωC)·V(z)임
• ③ 두 식을 한 번 더 미분해 서로 대입하면 파동방정식이 되고, 그 해는 입사파와 반사파의 합인 V(z) = V₊e^−γz + V₋e^γz임

주요 특징

선로의 손실 조건에 따라 전송선로 방정식의 결과가 단순해짐

구분	조건	특징
무손실 선로	R = 0, G = 0	γ = jβ, β = ω√(LC), Z₀ = √(L/C)로 신호가 감쇠 없이 진행
저손실 선로	R ≪ ωL, G ≪ ωC	감쇠상수 α가 작고, β ≈ ω√(LC), Z₀ ≈ √(L/C)로 근사하여 해석
무왜곡 선로	R/L = G/C	감쇠상수가 주파수와 무관해져 신호 모양이 변하지 않고 전달

집중정수 회로와 분포정수 회로 비교

비교 항목	집중정수 회로	분포정수 회로(분포전송선로)
해석 대상	회로 크기가 파장보다 매우 작은 경우	선로 길이가 파장과 비교할 수 있는 경우
소자 표현	R, L, C가 한 점에 모여 있다고 가정	R, L, G, C가 선로 전체에 분포한다고 가정
전압·전류	위치와 관계없이 같은 값	위치(z)에 따라 값이 변함
지배 방정식	키르히호프 법칙에 따른 상미분방정식	전송선로 방정식(위치와 시간에 대한 편미분방정식)
적용 주파수	저주파	고주파, 고속 디지털 신호

기술 동향·개선 사항·활용

• 동향·개선: 고속 디지털 신호와 5G 밀리미터파처럼 주파수가 높아지면 짧은 PCB 배선도 분포정수 회로로 해석해야 하며, 선로 정수를 직접 계산하는 대신 전자기장 해석 프로그램과 S-파라미터(회로를 입력·출력 신호의 비로 나타내는 방법)로 선로를 해석함
• 활용: 동축케이블, 마이크로스트립라인과 스트립라인, 안테나 급전선의 임피던스 정합과 고속 인터페이스 PCB의 임피던스 제어에 사용함

용어 설명

• 분포정수 회로(Distributed Parameter Circuit) : R, L, G, C가 선로 전체에 분포한다고 보는 회로 모델
• 집중정수 회로(Lumped Element Circuit) : 소자가 한 점에 모여 있다고 보는 회로 모델
• 전송선로 방정식(Telegrapher's Equation) : 전송선로의 전압과 전류 변화를 나타내는 미분방정식
• 전파정수(Propagation Constant, γ) : 감쇠상수와 위상상수로 이루어진 신호 진행 특성 값
• 감쇠상수(Attenuation Constant, α) : 단위 길이당 신호 크기가 줄어드는 정도
• 위상상수(Phase Constant, β) : 단위 길이당 위상이 변하는 정도
• 특성 임피던스(Characteristic Impedance, Z0) : 선로를 따라 진행하는 전압과 전류의 비율
• KVL·KCL(Kirchhoff's Voltage·Current Law, 키르히호프 전압·전류 법칙) : 회로의 전압과 전류를 해석하는 기본 법칙
• S-파라미터(Scattering Parameter) : 회로를 입력·출력 신호의 비로 나타내는 방법
• 표피 효과(Skin Effect) : 고주파 전류가 도체 표면으로만 흐르는 현상

참고 출처

• David M. Pozar, Microwave Engineering (4th ed.), Wiley
• Wikipedia, Telegrapher's equations