다중경로 채널의 전달함수 |H(f)| 계산과 주파수 선택적 페이딩

전달함수(Transfer Function)는 시스템의 입력과 출력 관계를 주파수 영역에서 나타내는 함수입니다. 이 글에서는 직접파와 지연파가 합쳐지는 다중경로 채널, 즉 r(t) = A·s(t) + A·s(t−τ)의 전달함수 |H(f)|를 구하고, 이 결과가 주파수 선택적 페이딩으로 이어지는 이유를 정리합니다. (기준일: 2026-10-12)

1. 주제

다중경로 채널의 전달함수(Transfer Function of Multipath Channel)

2. 개요

• 통신 시스템에서 무선 채널은 잡음, 감쇠, 페이딩(Fading, 수신 신호 세기의 변동) 등 신호를 열화시키는 요인을 가짐
• 통신 시스템의 입력 신호와 출력 신호를 분석하면 전달함수를 구할 수 있음
• 전달함수는 시스템의 특성, 응답, 오차 등을 분석하는 데 활용되며 시스템 설계에 필수적임
• 문제 설정: 동일한 크기 A를 갖는 두 전파 신호 중 하나가 τ만큼 지연되어 수신 신호가 r(t) = A·s(t) + A·s(t−τ)일 때, 전달함수의 크기 |H(f)|를 구함

3. 개념

가. 전달함수

• 시스템의 입력 신호와 출력 신호의 관계를 주파수 함수로 표현한 것으로, H(f) = Y(f) / X(f)
• 시간 영역의 임펄스 응답 h(t)를 푸리에 변환(Fourier Transform, 시간 신호를 주파수 성분으로 분해하는 변환)한 것과 같으며 R(f) = H(f)·S(f)의 관계

나. 다중경로 페이딩

• 송신 신호가 직접파와 건물 등에 반사된 반사파 등 여러 경로를 통해 수신되는 현상으로 지연확산(Delay Spread, 경로별 도착 시간 차이로 신호가 시간축에서 퍼지는 현상)과 간섭이 발생함

다. 무왜곡 전송 조건

• 신호 파형이 변하지 않으려면 허용되는 변화는 두 가지뿐이며, 모양 그대로의 증폭·감쇠(상수 H₀)와 모양을 바꾸지 않는 지연(지연시간 t₀)임
• 시간 영역: y(t) = H₀·x(t−t₀) → 크기가 H₀배로 변하고 t₀만큼 지연됨
• 주파수 영역: Y(f) = H₀·X(f)·e^−j2πft₀ → 전달함수 H(f) = H₀·e^−j2πft₀
• 크기 |H(f)| = H₀: 모든 주파수 성분을 똑같은 비율로만 줄이거나 키움
• 위상 θ(f) = −2πft₀: 주파수에 비례하는 선형 위상이며, 왜곡이 없으려면 위상이 주파수에 정비례해야 함

4. 개념도

그림. 다중경로 전파와 지연확산

• 가드 인터벌(Guard Interval), CP(Cyclic Prefix, 순환 전치부호) 등으로 지연확산의 영향을 줄일 수 있음

5. 주요기술

직접파와 τ만큼 지연된 반사파, 두 경로의 모델로 전달함수를 계산함

구분	수식	설명
수신 신호 모델	r(t) = A·s(t) + A·s(t−τ)	송신 신호 s(t)와 τ만큼 지연된 신호의 합
푸리에 변환	R(f) = F[r(t)] = A·S(f) + A·S(f)·e−j2πfτ	시간 지연 τ는 주파수 영역에서 e−j2πfτ를 곱하는 것과 같음(시간 이동 성질)
전달함수 H(f)	R(f) = A·S(f)(1 + e−j2πfτ) = H(f)·S(f) ∴ H(f) = A(1 + e−j2πfτ)	R(f) = H(f)·S(f) 관계에서 H(f)를 식별
전달함수의 크기 |H(f)|	|H(f)|2 = H(f)·H*(f) = A2(1 + e−j2πfτ)(1 + ej2πfτ) = A2(2 + 2cos2πfτ) = 4A2cos2(πfτ) ∴ |H(f)| = 2A|cos(πfτ)|	복소수의 크기는 켤레복소수 H*(f)와의 곱으로 계산

 

• 다르게 쓰면 H(f) = 2A·cos(πfτ)·e^−jπfτ이며, 1 + e^−jx = e^−jx/2(e^jx/2 + e^−jx/2) = 2cos(x/2)·e^−jx/2로 확인됨
• 최댓값: f = k/τ (k = 0, 1, 2, …)에서 |H(f)| = 2A로 두 신호가 같은 위상으로 더해짐
• 최솟값: f = (2k+1)/(2τ)에서 |H(f)| = 0으로 두 신호가 반대 위상으로 만나 완전히 상쇄됨

그림. 두 경로 채널의 전달함수 크기 |H(f)| = 2A|cos(πfτ)|

6. 주요특징

특징	설명
주파수 선택성	주파수에 따라 이득이 0과 2A 사이에서 변하여 |H(f)|가 일정하지 않으므로 무왜곡 조건(|H(f)| = H0)을 만족하지 못함
주기성	|H(f)|는 주파수 간격 1/τ마다 같은 모양이 반복됨
깊은 페이딩	f = (2k+1)/(2τ)인 주파수 성분은 두 경로 신호의 상쇄로 수신되지 않음
지연확산의 영향	τ가 클수록 상쇄 지점의 간격(1/τ)이 좁아져 신호 대역폭 안에 더 많은 상쇄 지점이 들어와 주파수 선택적 페이딩이 심해짐

 

7. 무왜곡 전송과 다중경로 채널 비교

구분	무왜곡 전송	다중경로 채널(2경로)
전달함수 H(f)	H0·e−j2πft0	A(1 + e−j2πfτ)
크기 응답	일정(H0)	2A|cos(πfτ)|로 주파수에 따라 변동
위상 응답	−2πft0(주파수에 비례)	−πfτ(cos 부호가 바뀌는 지점에서 π 불연속)
파형 변화	크기와 지연만 변하고 모양 유지	주파수 성분별 이득 차이로 파형 왜곡
대책	불필요	등화기(Equalizer), OFDM의 가드 인터벌·CP

 

8. 기술동향·개선사항·활용

• 개선사항: 지연확산으로 인한 주파수 선택적 페이딩은 OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, 직교 주파수 분할 다중화)의 가드 인터벌과 CP, 수신단 등화기로 개선함
• 활용: 전달함수는 채널 추정, 필터 설계, 시스템 응답과 오차 분석 등 통신 시스템 설계 전반에 활용됨

용어 설명

• 전달함수(Transfer Function) : 시스템의 입력과 출력의 관계를 주파수 함수로 나타낸 것
• 임펄스 응답(Impulse Response) : 짧은 충격 신호를 넣었을 때 시스템이 내놓는 출력
• 푸리에 변환(Fourier Transform) : 시간 신호를 주파수 성분으로 분해하는 변환
• 다중경로 페이딩(Multipath Fading) : 직접파와 반사파가 함께 도착해 수신 신호 세기가 변하는 현상
• 지연확산(Delay Spread) : 경로마다 도착 시간이 달라 신호가 시간축에서 퍼지는 현상
• 주파수 선택적 페이딩(Frequency Selective Fading) : 특정 주파수 성분만 크게 줄어드는 페이딩
• 가드 인터벌(Guard Interval) : 심볼 사이에 두는 보호 구간으로 지연된 신호의 간섭을 줄임
• CP(Cyclic Prefix, 순환 전치부호) : 심볼 끝부분을 앞에 복사해 붙인 가드 인터벌
• OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, 직교 주파수 분할 다중화) : 데이터를 여러 개의 직교하는 부반송파에 나눠 싣는 전송 방식
• 등화기(Equalizer) : 채널이 일으킨 왜곡을 보상해 원래 신호에 가깝게 되돌리는 장치
• 켤레복소수(Complex Conjugate) : 허수 부분의 부호만 반대로 한 복소수

참고 출처

• Simon Haykin, Michael Moher, "Communication Systems" (Wiley) — 전달함수, 무왜곡 전송 조건
• Theodore S. Rappaport, "Wireless Communications: Principles and Practice" (Prentice Hall) — 다중경로 전파, 지연확산
• Wikipedia, "Fading" — en.wikipedia.org/wiki/Fading
• Wikipedia, "Transfer function" — en.wikipedia.org/wiki/Transfer_function