샤논의 정리와 채널용량: 전력제한·대역폭제한 시스템 비교

샤논의 정리(Shannon's Theorems)는 정보를 얼마나 압축할 수 있는지, 잡음이 있는 채널로 얼마나 빠르게 오류 없이 보낼 수 있는지 그 이론적 한계를 제시한 통신 이론의 기반입니다. 이 글에서는 샤논의 세 가지 정리와 채널용량 그래프를 정리하고, 이 그래프에서 나뉘는 전력제한 영역과 대역폭제한 영역의 차이를 비교합니다. (기준일: 2026-10-12)

1. 주제

• 국문: 샤논의 정리, 채널용량, 전력제한·대역폭제한 시스템
• 영문: Shannon's Theorems, Channel Capacity, Power-Limited and Bandwidth-Limited Systems

2. 개요

• 개발 배경: 통신 시스템의 성능을 높이려면 어디까지 가능한지 알아야 하는데, 1948년 클로드 샤논(Claude Shannon)이 「A Mathematical Theory of Communication」에서 정보량(엔트로피)과 채널용량 개념을 정립하여 압축과 전송의 이론적 한계를 처음 제시했습니다.
• 의의: 이후 채널코딩(터보 부호, LDPC 등)과 변조 방식 설계의 기준이 되는 한계치(샤논 한계)를 제공합니다.

3. 개념

샤논의 정리는 정보원 부호화, 채널 부호화, 채널용량 세 가지로 구성됨

구분	상세 설명
샤논의 제1정리 (정보원 부호화)	L ≥ H(X): 정보원의 평균 부호어 길이 L은 엔트로피 H(X)보다 줄일 수 없으며, 압축의 한계치를 제시
샤논의 제2정리 (채널 부호화)	R < C: 채널용량 C보다 작은 전송률 R에서는 오류 확률을 임의로 작게 만들 수 있으며, 오류 없는 통신의 가능 조건과 채널코딩의 이론적 근거를 제시
샤논의 제3정리 (채널용량)	C = B·log2(1 + S/N): 잡음이 있는 채널에서 최대 전송률을 제시하며, 대역폭 B와 SNR에 따라 전송 가능한 정보량의 한계를 결정

4. 개념도

그림. 채널용량 곡선과 전력제한·대역폭제한 영역

가로축은 비트당 에너지 대 잡음 전력 밀도비(E_b/N₀, 전력의 효율을 나타내는 지표), 세로축은 단위 대역폭당 전송률(C/W, 대역폭 효율)임. 곡선 아래(R < C)에서는 오류 없는 통신이 가능하고, 곡선 위(R > C)에서는 어떤 부호를 써도 불가능함. E_b/N₀가 약 -1.6 dB보다 낮으면 대역폭을 아무리 늘려도 오류 없는 통신이 불가능하며, 이 값을 샤논 한계라고 함

5. 전력제한과 대역폭제한 영역별 대응

구분	내용
전력제한 시스템	Eb/N0 저하 → BER(비트 오류율) 증가 → 채널코딩 적용 또는 저차 변조 사용 → 중복 비트가 늘어 대역폭 효율 저하
대역폭제한 시스템	대역폭 한정 → 고차 변조 사용 → 심볼 간 거리 감소와 리던던시(중복) 감소 → BER 증가 → 더 높은 전력 또는 저차 변조 필요
전력-대역폭 Trade-off	전력을 줄이면 대역폭이 더 필요하고, 대역폭을 줄이면 전력이 더 필요한 상호 교환 관계

6. 대역폭제한 이동통신 과 전력제한 위성통신  비교

구분	대역폭제한: 이동통신	전력제한: 위성통신
제한 요소	주파수 자원(사용 가능한 대역폭)	위성 송신 전력과 먼 거리에 따른 큰 전파 손실
대역폭 효율	높음(C/W 큼)	낮음(C/W 작음)
변조 방식	고차 변조(64-QAM, 256-QAM 등)	저차 변조(QPSK, 8PSK 등)
대응 기술	MIMO, 주파수 재사용, 채널 상태에 맞춘 변조·부호율 조정	LDPC·터보 등 강력한 채널코딩, 고이득 안테나
적용 예	LTE, 5G NR	위성방송, 심우주 통신

7. 기술동향·개선사항·활용

• 동향·개선사항: 터보 부호와 LDPC 부호가 샤논 한계에 근접한 성능을 보이며, 고차 변조에서는 NUC(비균일 성상)처럼 성형 이득으로 한계에 다가가는 기술이 쓰이고 있음
• 활용: 위성·이동통신의 링크 설계, 변조 방식과 부호율 선택(ACM, Adaptive Coding and Modulation, 적응형 부호화·변조), 시스템 성능 평가 기준에 활용됨

용어 설명

• 샤논 한계(Shannon Limit) : 오류 없이 통신할 수 있는 이론상 최대 전송률의 한계
• 엔트로피(Entropy, H(X)) : 정보원이 가진 평균 정보량
• 채널용량(Channel Capacity, C) : 잡음이 있는 채널에서 오류 없이 보낼 수 있는 최대 전송률
• SNR(Signal-to-Noise Ratio, 신호 대 잡음비) : 신호 전력과 잡음 전력의 비
• Eb/N0 : 비트당 에너지 대 잡음 전력 밀도비로 전력 효율을 나타내는 지표
• BER(Bit Error Rate, 비트 오류율) : 전송한 비트 중 틀린 비트의 비율
• LDPC(Low-Density Parity-Check, 저밀도 패리티 검사) : 샤논 한계에 근접하는 채널 부호
• 터보 부호(Turbo Code) : 샤논 한계에 근접하는 채널 부호
• NUC(Non-Uniform Constellation, 비균일 성상) : 성상점을 고르지 않게 배치해 성형 이득을 얻는 기술
• ACM(Adaptive Coding and Modulation, 적응형 부호화·변조) : 수신 상태에 따라 변조 방식과 부호율을 바꾸는 방식

참고 출처

• C. E. Shannon, A Mathematical Theory of Communication, Bell System Technical Journal, vol. 27, 1948
• T. M. Cover, J. A. Thomas, Elements of Information Theory, Wiley
• J. G. Proakis, Digital Communications, McGraw-Hill